綿陽三診數(shù)學(xué)答案

綿陽市高中2022級第三次診斷性考試

數(shù)學(xué)參考答案及評分標準

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．

BABC   DACC

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．

9．ACD            10．AB            11．AB

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．

12．?8            13．0.42            14．

四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

15．解：（1）設(shè)數(shù)列公比為，

由，，成等差數(shù)列得：，    3分

∴，即：，可得，    5分

數(shù)列{an}的通項公式為：；    6分

（2）

    7分

    8分

    9分

    11分

（或）．    13分

16．解：（1），令，    1分

∵函數(shù)在處取得極值．

∴，則，    2分

，    3分

令，可得，或，    4分

，，單調(diào)遞增；

，，單調(diào)遞減；    5分

，，單調(diào)遞增，    6分

∴的極小值為；    7分

（2）由（1）可知在[1，2]上單調(diào)遞減，    8分

∴，，    9分

∴，    10分

∴    13分

∴當，．    15分

17．解：（1）梯形中DA，CB，EF不平行，延長D1A1，CB，EF，

記，，

∵，    2分

∴△MFD1≌△NFC，則FM=FN，即M，N重合，    3分

∴，所以A1，B，D1，C四點共面；    4分

（2）∵平面A1EFD⊥平面BEFC，面面，，

∴D1F⊥面，則D1F⊥面CF，    5分

易知FE，FC，FD1兩兩垂直，不妨以F為坐標原點，以FE，FC，FD1分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz．    6分

不妨設(shè)A1E=BE=a，則，，，C(0，a+1，0)，D1(0，0，a+1)，

則，，    7分

由可知，，

可解，    8分

∴；    9分

（3）∵平面面，記面面，在平面EFP內(nèi)過點E作直線m⊥l，

∴，    10分

又∵面，∴，且面，面，

∴面，∴，

在等腰直角三角形△D1FC中FP為中線，即點P為CD1的中點；    11分

由第（2）問可知，，C(0，3，0)，

則，    12分

不妨設(shè)平面BFP的法向量為n=(x，y，z)，取平面BEFC的法向量為m=(0，0，1)平面BFP與平面BEFC所成角為，

即，不妨取，     13分

則，    14分

∴平面BFP與平面BEFC夾角的余弦值為．    15分

18．解：（1），則即a=1，    1分

又，解得，    2分

∴雙曲線C的方程為．    3分

（2）方法一：設(shè)，則由，

可得：，    4分

又點T在雙曲線C上，則，

化簡整理得：，    5分

又，均在雙曲線C上，則，，

代入上式整理得：……①，    6分

易知直線l1的斜率為0時，不符合題意，

設(shè)直線l1方程為，則，

代入①得：……②

聯(lián)立，得：，    7分

由韋達定理可得：，    8分

代入②式得：，    9分

解得：，即，此時，則直線l1與雙曲線C右支有兩個交點，

即直線l1方程為；    10分

方法二：易知直線l1的斜率為0時，不符合題意，設(shè)直線l1方程為，，MN的中點為P(x0，y0)，

聯(lián)立，得代入①得：，    4分

由韋達定理可得：，    5分

∴，，    6分

則由=

    ∴，    7分

代入雙曲線C的方程可得：，

∴，    8分

∴，或，    9分

當時，直線l1與雙曲線的漸進性平行，不符合題意，

∴直線l1方程為；    10分

（3）設(shè)直線l1方程為，直線l2方程為，

由，則，即，    11分

∴，，則(當且僅當時取等號)

設(shè)，，，，

則，

同理可得：，    12分

故，

同理：，

∴……③    13分

聯(lián)立得：，

由韋達定理可得：，同理可得：，代入③得：

                =

                =    14分

令，則，    15分

令，則在區(qū)間[6，10)上單調(diào)遞增，

∴，    16分

故當，時，的最小值為．    17分

方法二：（當且僅當，時，等號成立），    16分

∴的最小值為．    17分

19．解：（1）當n = 3時，巴士從(0，0)行駛到(2，1)時，共有種行駛路線；

從(2，1)行駛到(3，3)時，共有種行駛路線；    2分

因此經(jīng)過(2，1)的行駛路線共有種；    4分

（2）（i）方法一：

    除去起點A與終點B外，巴士一定會經(jīng)過7個格點，若游客恰好游覽了7個景點，說明巴士一定不經(jīng)過AB對角線上的格點．

    ∴巴士第一步必然到達(1，0)或(0，1)格點，且必然從(4，3)或(3，4)到達終點．在這個過程中既不會穿過AB對角線，也不會到達對角線上的格點．    5分

    考慮對稱性，不妨先計算從格點(1，0)到達格點(4，3)，且不經(jīng)過(1，0)與(4，3)連線上方格點的路線總數(shù)．    6分

    假設(shè)向右行駛記為1，向上行駛記為?1，那么每條行駛路線實際唯一對應(yīng)一個含3個1與3個?1的序列a1，a2，…，a6．行駛路線不經(jīng)過(1，0)與(4，3)連線上方格點，等價于對任意前k段，向右行駛的段數(shù)都不小于向上行駛的段數(shù)，即．

根據(jù)題意，滿足條件的路線總數(shù)應(yīng)為種．    8分

從而從格點(0，1)到達格點(3，4)，且不經(jīng)過(0，1)與(3，4)連線上方格點的路線總數(shù)也為5種．

因此游客游覽了7個景點的路線總數(shù)為10種．    9分

方法二：當n = 4時，巴士總共有種行駛路線，    5分

除去起點A與終點B外，巴士一定會經(jīng)過7個格點，若游客恰好游覽了7個景點，說明巴士一定不經(jīng)過AB對角線上的格點，即(1，1)，(2，2)，(3，3)，

設(shè)經(jīng)過格點C(1，1)，D(2，2)，E(3，3)分別為事件C，D，E，

則經(jīng)過格點C的路線總數(shù)為種，

經(jīng)過格點D的路線總數(shù)為種，

經(jīng)過格點E的路線總數(shù)為種，

經(jīng)過格點C與格點D的路線總數(shù)為種，

同理種，種，

經(jīng)過格點C，D，E的路線總數(shù)為種，    7分

因此經(jīng)過格點C或格點D或格點E的路線總數(shù)為：

，    8分

用韋恩圖可如上圖表示，

故游客恰好游覽了7個景點的路線總數(shù)為種；    9分

（ii）要保證游客能夠分別瀏覽兩個景區(qū)至少1個景點，即行駛路線必須穿過對角線AB．不妨先考慮只經(jīng)過AB及其右下方格點的行駛路線，設(shè)總數(shù)為R(n)，    假設(shè)向右行駛記為1，向上行駛記為?1，那么每條行駛路線實際唯一對應(yīng)一個含n個1與n個?1的序列a1，a2，…，a2n．行駛路線不經(jīng)過AB左上方的格點，等價于對任意前k段，向右行駛的段數(shù)都不小于向上行駛的段數(shù)，即，    10分

由題意    11分

    12分

∴行駛路線不經(jīng)過AB右下方格點的種數(shù)也應(yīng)為，

∴行駛路線穿過對角線AB的種數(shù)為，

故．

只需證：，n≥5．    13分

當n = 5時，，上式顯然成立．

當n≥6時，令，

顯然，．    14分

且，

∵ ()，當且僅當時取等，

不難知，故，    15分

所以，    16分

即，

綜上所述：．    17分

（注：也可以假設(shè)，對整理后的一元二次不等式進行驗證）